Makalah Permutasi, Kombinasi, dan Peluang

PERMUTASI, KOMBINASI, DAN PELUANG

Makalah ini disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Matematika

Disusun oleh :

Kelompok 7

Rombel 1 C

1.      Vip Valiant A.A                               (1401412374)

2.      Nadia Indah K.                                 (1401412222)

3.      Mufidatul Muharomah                     (1401412552)

4.      Orkama Dwi Septiandri                    (1401412232)

Dosen Pengampu :

Dra. Noening Andrijati M.Pd.

JURUSAN PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2012

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan Makalah ini yang berjudul Permutasi, Kombinasi dan Peluang didalam matematika Allhamdulillah selesai tepat pada waktunya.

Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.

Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita, Amin.

Tegal, September 2012

Penyusun

DAFTAR ISI

Kata pengantar…………………………………………………………………………………2

Daftar Isi……………………………………………………………………………………….3

BAB I PENDAHULUAN

A.    Latarbelakang………………………………………………………………………….4

B.     RumusanMasalah……………………………………………………………………...4

C.     Tujuanpenulisan…………………………………………………………………...…..4

BAB II PEMBAHASAN

A.    Permutasi………………………………………………………………………………5

B.     Kombinasi……………………………………………………………………………..7

C.     Peluang………………………………………………………………………………..8

BAB III PENUTUP

A.    Kesimpulan…..……………………………………………………………………….14

B.     Saran……….…………………………………………………………………………15

DaftarPustaka…………………………………………………………………………...……16

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

                          Dalam materi ini kita akan membahas teori peluang, permuitasi dan kombinasi. Yang mungkin sudah pernah anda pelajari pada waktu SMA namun demikian, materi akan diberikan dalam makalah ini bukan hanya sekedar mengulang, tetapi diharapkan pula memberi wawasan yang luas mengenai pendefinisikan peluang, permutasi dan kombinasi. Untuk mendukung kelancaran anda terhadap penguasaan materi dalam modul ini perlu juga dipelajari teknik menghitung yang mencakup prinsip perkalian dan penjumlahan, serta permutasi dan kombinasi.

B.     RUMUSAN MASALAH

1.      Bagaimana menghitung nilai-nilai permutasi dan kombinasi suatu peristiwa tertentu ?

2.      Bagaimana cara menghitung nilai-nilai peluang suatu peristiwa yang dibentuk oleh operasi-operasi komplemen, gabungan dan irisan ?

3.      Bagaimana cara menghitung peluang bersyarat ?

C.    TUJUAN PENULISAN

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan :

a.    Memahami dan dapat mengguankan permutasi dalam menyelesaikan persoalan terkait

b.    Memahami dan dapat mengguankan kombinasi dalam menyelesaikan persoalan terkait

c.    Memahami dan dapat mengguankan peluang dalam menyelesaikan persoalan terkait

BAB  II

PEMBAHASAN

1.       PERMUTASI

                     Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutan.

Contoh I:
{a,b,c}
Jika dipilih 2 dari 3 unsur tersebut, maka banyaknya permutasi dari 3 unsur setiap pengambilan 2 unsur adalah 6, yaitu ab, ba, ac, ca, bc, cb.
Ditulis 3P2 = 6.

Contoh II:
{a,b,c}
maka, banyaknya permutasi dari 3 unusr setiap pengambilan 3 unsur adalah 6, yaitu abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Ditulis 3P3 = 6
RUMUS :

Catatan: Notasi Faktorial
3! = 3x2x1
5! = 5x4x3x2x1
1! = 1
Def 0! = 1

Contoh :

Terdapat 6 Mahasiswa yang memenuhi syarat dan bersedia menjadi pengurus Himpunan Mahasiswa Jurusan (HMJ).Jika pengurus HMJ  itu terdiri dari ketua,sekretaris dan bendahara.Ada berapa macam susunan pengurus yang mungkin di bentuk?

Jawab :

Persoalan ini termasuk dalam  persoalan mencari banyak susunan terdiri dari 4 benda yang diambil dari 6 benda. Jadi kita hendak mencari P6.4 . P6.4 = 6.5.4.3 = 360.Berikut ini adalah penjelasannya.Ada 6 mahasiswa yang bisa dipilih menjadi ketua.Seandainya ketua telah dipilah,maka 5 pilihan untuk wakil ketua.Jika ketua dan wakil ketua telah terpilih, maka ada 4 pilihan untuk sekretaris.Jika ketua,wakil ketua dan sekretaris telah dipilih, maka tinggal 3 mahasiswa yang bisa dipilih untuk bendahara. Jadi banyaknya susunan pengurus yang mungkin 6.5.4.3=360 atau dapat diubah menjadi bentuk  faktorial sebagai berikut

P6.4 =    =  =  = 360

Ø  Permutasi Siklis

Permutasi Siklis = banyaknya cara untuk n objek disusun melingkar dengan uritan berlainan.

P =  (n-1) !
Contoh:
Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 !  6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

Ø  Permutasi Memuat Beberapa Unsur yang Sama

Permutasi n unsur dengan k unsur sama dari n unsur itu (n k) adalah

P =

Aturan ini dapat diperluas sebagai berikut :

Untuk permutasi n unsur, dengan k unsur sama,k2 unsur sama dan kn unsur sama dari n unsur (k1 + k2 +...+kn  n) yaitu

P =

Contoh :

Tentukan banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari unsur huruf-huruf pembentuk kata MAKAN 

Jawab :

MAKAN

n = banyaknya huruf M,A,K,A,N

n = 5

k = banyak huruf 4

Jadi, P =

         P =  =  = 60

2.     KOMBINASI

Kombinasi = Pemilihan k ansaur dari n unsur  beebeda tanpa memperhatikan urutan

Kombinasi dari k unsur dari n unsur yang tersedia dirumuskan dengan :

 =

Contoh :

 =

      =

       =

        =

        = 21

Ø  Contoh

Sebuah kontingen olimpiade matematikaterdiri atas 5 siswa yang akan dipilih dari 6 siswa putra dan 4 siswa putri. Tentukan banyak cara kontingen ini dapat dibentuk jika:

a)      Tidak ada pembatasan

b)      Kontingen tepat memiliki 3 putra

Jawab :

a.       Jumlah seluruh siswa = 6 + 4 = 10

C_(10,5) =  =  = 252

b.      3 putra dipilih dari 6 putra

Sisa = 5 - 3 = 2 putri dari 4 siswa putri

C_(6,3) C_{(4,2)  =}    = 120

BINOMINAL

(a + b)ⁿ = C_(n,0).aⁿ  + C_(n,1). a^n-1.b + C_(n-2).b² + ............. + C_(n,2).bⁿ

3. PELUANG

Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin.
P(A) = k / n
Dimana
k : jumlah terjadinya kejadian A
n : jumlah seluruh yang mungkin
Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel
Contoh:
1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.
    A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.
    Maka :
    S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}
    A = {mmb, bmm}
    n(S) = 2³ = 8
    n(A) = 2
    P(A) = 2/8 = 1/4

2. Percobaan melempar dadu satu kali.
    A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.
    Maka :
    S = {1,2,3,4,5,6}
    A = {2,4,6}
    n(S) = 6
    n(A) = 3
    P(A) = 3/6 = 1/2
Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku:
            _
P(A) + P(A) = 1

Contoh:
Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?
Jawab:
P (King) = 4/52 = 1/13
P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13

Sifat Peluang

Ø  Kombinasi Kejadian

Dalam bagian ini kita akan menelaah kombinasi beberapa kejadian.Misalkan kita mempunyai dua kejadian A dan B.Ada tiga kejadian yang dapat diperoleh dari kejadian diatas yaitu :

1.      Kejadian A  B (A atau B) adalah himpunan hasil percobaan yang ada dalam A atau B

2.      Kejadian A  B (A dan B) adalah himpunan semua hasil percobaan yang ada dalam A dan B

3.      Komplemen kejadian A, dinyatakan dengan  , adalah himpunan hasil percobaan yang tidak dalam A.

Ø  Contoh

Dalam menggulirkan satu dadu yang simetris, berapa peluang munculnya bilangan ganjil atau 4 ?

Jawab :

Kita memisalkan L menyatakan kejadian munculnya bi;angan ganjil dan Tkejadian munculnya 4, kemudian kita cari P (L  T ). Dengan menggunakan diagram pada Gambar sebagai berikut :

P (L  T ) =  =  =

s 1              3              5 2              4              6

                                                           L

                                                                    T

                                                

Ø  Contoh

Dalam menggulirkan dadu yang adil , berapa peluang memperoleh bilangan genap atau kelipatan 3 ?

Jawab

Misalkan K menyatakan kejadian munculnya bilangan genap dan L menyatakan munculnya kelipatan 3. Maka yang hendak kita cari tidak lain adalah P (K L).

P(KL) = =  =

 

P (K) =  dan P(L) =

Akan tetapi di sini

P(K L)  P(K) + P(L) sebab
 +

Apakah perbedaan 2 contoh persoalan pada terakhir di atas? Pada contoh pertama di atas K dan L tidak mempunyai anggota sekutu. Hal ini mendorong kita untuk menentukan konsep berikut.
Kejadian yang saling asing ( mutually exclusive)

1.      Kejadian A dan B disebut saling asing apabila mereka tidak mempunyai hasil percobaan sekutu. 2.      Jika A dan B kejadian yang saling asing maka P(AB) = P(A) + P(B)

 

Ø  Contoh

Dari setumpuk kartu remi kita ambil satu kartu. Berapa peluang Anda memperoleh kartu bunga cengkih atau kartu warna merah?

Jawab:

Misalkan C kejadian memperoleh kartu bunga cengkih dan M kejadian memperoleh kartu warna merah maka kita mendapat

P(C) =  dan P(M) =  

Karena dua kejadian C dan M adalah saling asing (mutually exclusive) maka

P(CM) = P(C) + P(M)

           = +  =  =

Peluang Kejadian Kompleks

a.       Gunakan Bantuan Kemungkinan

b.      Gunakan Bantuan Diagram Pohon

Peluang Kejadian Majemuk

P(E’) = 1 – P(E)

Contoh

Tentukan komplemen munculnya mata dadu genap !

Jawab :

Angka genap dadu adalah 2, 4, 6 ; sedangkan sisi dadu ada 6

Sehingga peluang dadu genap P(A) = 3/6 = 1/2

P(A’) = 1 –  =

Peluang Saling Lepas

P(A  B) = P(A) + P(B)

Contoh :

Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu bridge . Berapa peluang yang terambil kartu sekop dan kartu berwarna merah ?

Jawab :

P(sekop) = 13/52 ; P(merah) = 26/52

P(A  B) =  +  =  =

Peluang Tidak Saling Lepas

P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Contoh

Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu remi. Tentukan peluang terambilnya kartu hati atau bergambar Raja (King, Queen, dan Jack)!

Jawab :

Kartu Hati  n(Hati) = 13 ; P(Hati) = 13/52

Kartu Raja  n(Raja) = 12 ; P(Raja) = 12/52

Kartu hati dan juga raja  n(Hati Raja) = 3 ; P(Hati  Raja) = 3/52

P(A  B) =  +  -  =  =

Peluang Saling Bebas

P(AB) = P(A)  P(B)

Contoh

Dari dalam kantong yang berisi 6 bola merah dan 4 bola putih , diambil 1 bola , dilihat warnanya dan dikembalikan lagi. Tentukan peluang terambilnya bola putih lalu merah !

Jawab :

P(merah) = 6/10 = 3/5

P (putih) = 4/10 = 2/5

P(AB) =  =

Peluang Saling Bebas Bersyarat

P(AB) = P(A) P(BIA)

Contoh

Sebuah bola kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola biru. Jika diambil 2 bola per satu tanpa dikembalikan, tentukan peluang bola yang terambil itu berturut-turut merah-biru !

Jawab :

P(merah) = 5/9

Bola tidak dikembalikan  9-1 = 8

P(birulmerah) = 4/8 = ½

P(AB) =

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN :

                     Dari materi permutasi kita bisa menentukan banyak cara pengambilan data. Misalkan pengambilan banyak cara posisi duduk melingkar saat suatu anggota keluarga berkumpul pada sebuah meja bundar. Dengan permutasi kita dapat menghitung kemungkinan banyaknya posisi duduk satu keluarga tersebut.

Selain itu, kita juga dapat menghitung banyaknya susunan huruf maupun angka dengan cara yang tepat yaitu dengan menggunakan permutasi.

                          Pada materi kombinasi inti pengertiannya adalah susunan unsure-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA jadi, dalam menggunakan kombinasi kita dapat menyimpulkan banyak cara pemilihan suatu kejadian dengan cara yang ditentukan. Misalkan dari 5 siswa akan dibentuk pengurus osis yang terdiri dari ketua, wakil ketua, bendahara, sekertaris dengan rumus kombinasi kita dapat menentukan banyak cara pemilihan tersebut.

                          Pada materi peluang kita dituntut untuk memperoleh prosedur menentukan peluang, aturan yang mengendalikan peluang, dan simpulan yang secara sah dapat ditarik dari peluang yang telah ditentukan. Dalam peluang yang bersifat tak tentu, maka setiap pembicaraan tentang peluang dianggap sebagai proses pengamatan atau pengukuran yang hasilnya tak tentu. Dalam  ketidaktentuan. Dengan begitu kita dapat mengetahui aturan peluang. Selain itu, kita siap untuk menentukan
(mendefinisikan) peluang hasil suatu percobaan.

SARAN :

                        Demikianlah makalah yang dapat kami buat, sebagai manusia biasa kita menyadari dalam pembuatan makalah ini masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat konstruktif sangat kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini dan berikutnya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua. Amiin.

DAFTAR PUSTAKA

Wheeler, Ruric E. 1992. Moderm Mathematics. Belmont, CA : Wadsworth.

Hudoyo Herman. 1996/1997.  Matematika. : Depdikbud.